Minha sugestão é que você não ligue o cabo que vem do seu amigo na porta wan do seu roteador, mas sim numa das portas LAN. Daí vc desativa o serviço DHCP do seu roteador, e coloca nele um IP fixo, livre, da rede do seu amigo (p.ex. 192.168.2.2). Isso vai fazer o seu roteador trabalhar como um Access Point.
Fazendo isso, as máquinas da sua rede vão pegar IP por DHCP diretamente do modem de seu amigo, ficando também na rede 192.168.2.x.
Sobre os problemas de conexão, podem ser por causa do MTU da rede, ou do IPv6.
Você pode baixar o MTU de sua máquina com o comando
sudo ifconfig wlan0 mtu 1492
Pra desabilitar o IPv6, use o comando
sudo sysctl net.ipv6.conf.all.disable_ipv6=1
Faça os dois testes em separado, pra ver qual dos dois resolve. Note que nenhum dos dois comandos é permanente, então precisamos saber qual dos dois resolve o problema, pra fixar a configuração.