[...] Como posso fazer backup de tais arquivos, [...]
Então, Fábio,
Mas vamos ao que interessa, se sua primeira preocupação é conseguir fazer backup de arquivos que tenha no disco que está apresentando problema, o melhor a fazer é
subir o sistema usando um live-iso (pendrive ou cdrom) e a partir dele copiar o que possa para qualquer outra localidade externa, seja um hd externo, um pendrive, outro computador em rede, se disponível, ou mesmo subindo os arquivos para qualquer desses serviços online disponíveis tais como Drive do Google, OneDrive da Microsoft, Dropbox e por aí vai.
A primeira providência, claro, é salvar o que possa e precisa ser salvo mediante um backup externo seguro e confiável dos arquivos pessoais, uma vez ultimada essa providência depois se vê o resto.
Não tente corrigir erros antes de salvar o que possa ser salvo, um disco avariado quanto mais se usa pior fica.
Uma vez feito o backup dos arquivos pessoais em seguida se pode usar um software apropriado para verificar o disco e os eventuais badblocks.