Não uso Mint, mas acho isso estranho. Ouço muito falar das 1001 facilidades que o Mint traz logo de cara ao usuário, de modo que acho difícil um problema como esse ser corriqueiro.
Pressuponho que o navegador padrão do Mint também seja o Firefox, tal como o Ubuntu, certo? Sendo esse o caso, não dá pra simplesmente trocar o flash disponível nos repositórios do Mint pelo do Ubuntu, não?
Outra coisa, será que isso não acontece devido à versão desatualizada do Firefox? O Mint 13 se não me engano já tem mais de um ano (é da época do 12.04 LTS), e pode ser que isso se resolva apenas por instalar atualizações do Firefox.
Ou se a carapuça servir, vocês podem usar o Google Chrome mesmo. Ele tem um plug-in Flash próprio (o tal do "pepper"), junto com um plugin de leitor de PDF. E se o problema for a velha temática proprietário X livre, o flash (ao menos a versão que o Firefox utiliza, caso esta seja o flash da adobe é claro) por natureza também não é proprietário?