Depois de muitas batidas de cabeça consegui achar duas soluções:
1) Usar o JDownloader em modo janela, sem maximizar - o bug com os menus e com o mouse apontando no lugar errado só acontece se ele estiver maximizado. Isso é uma falha do Linux Mint 13 com o JAVA;
2) Atualizar para o Linux Mint 14, pois vi que a falha foi corrigida completamente nessa versão - mas como o 13 é LTS, ficarei nele.
Enfim, tópico resolvido (por enquanto). Vou seguir adiante em busca de uma solução mais eficiente.