1- Passo
Para testar se é a placa de rede de esse comando:
lspci |grep Ethernet
Aparecera informações sobre sua placa de rede. Então tente pingar uma maquina da rede.
Se estiver tudo ok, vamos para o segundo passo.
2- Passo
Não entendi direito sua configuração de rede, mas se você esta usando um micro com window para compartilhar a internet, você vai ter que instalar e configurar um aplicativo chamado samba(compartilha arquivos, impressora e internet com ambientes window) no micro com linux.
Caso você esteja usando um roteador para compartilhar a internet é só você configurar o firefox para autodetectar as configurações da rede, mas para isso você tem que estar pingando outras maquinas da rede(Passo 1).
Qualquer duvida poste aqui?