O sistema estava instalado em "/" e vc escolheu deixar o diretório /home em outra partição.
Vc só vai ter o acesso /home/...., não vai ter acesso a um diretório anterior se o que quer dizer, para criar uma pasta que fique junto a pasta home, e não dentro dela, vc queria o acesso ao "/" da partição do /home, certo? acho que não vai dar, mas nunca me deparei com essa situação, por isso não posso me dar 100% de razão.
nesse caso, o "/" da partição /home é o próprio /home, ele é o pontode partida da partição.
é como no windows, onde o ponto de partida é C:\ , acima do C não existe nada, apenas outras unidades (a:\, d:\...) que estão ao seu lado, em nivel de estruturação de diretórios.
Transira seus dados para a partição onde instalou o sistema, formate o /home ou exclua a partição e crie novamente.
ai ela vai aparecer da forma que deseja.
Com relação a aparecer como midia na área de trabalho, é normal, é assim mesmo que aparece para todo mundo.
Com relação a renomear, digite no terminal man mount e veja todas as opções que tem ao montar uma partição, pois vc pode desmontar e montar novamente.