Olha, fiz uma pesquisa no tio Google sobre este problema e o que encontrei foi o seguinte:
As reclamações quanto a isso no Transmission são antigas. Achei relatos desde 2008.
Tudo indica que o seu Gateway não aguenta muitas requisições, pode ser um modem ou roteador "meia boca" ou já saturado pelas requisições. Daí quando você liga o Transmission as requisições são tantas que ele, o gateway, "trava", fazendo sua rede "travar".
A maneira mais simples e rápida de resolver isso é limitando o número de conexões dos "peers" ou "pares".
Dentro do Trasmission > Editar > Preferências > Rede > Limites de pares. O padrão é máximo de 50 pares por torrent e máximo de 200 pares globais. Diminua para 5 e 10 respectivamente para começar a testar. E vá aumentando os valores até ver o limite da sua rede!
Limitar a velocidade máxima de Download e Upload também pode ajudar.
Outro teste que você pode fazer é tentar usar outro gerenciador de Torrent, como o Qbitorrent ou o Delugue, entre outros. Para ver se o problema persiste. Se persistir, tudo indica que é mesmo o seu Gateway aí.
Também achei que alguns usuários resolveram o problema trocando o Roteador por um modelo com mais memória. Há sim, também li que o "pau" ocorre com roteadores da D-link! Mas era um post de 2010.
Testa aí e vê o que você descobre.