Existe a forma fácil, que é replicar as alterações que vc fez no seu arquivo "/etc/hosts" nas máquinas-cliente. Quer dizer, fácil em termos, pois se forem dezenas de máquinas-cliente, isso vai dar um trabalho cão.
E existe a forma certa, que é a proposta pelo irtigor, de criar um servidor DNS local e cadastrar esses nomes de servidor lá. O problema é que pra isso funcionar vc precisa definir um domínio pras máquinas; precisa também cadastrar todas as máquinas pra usar o seu servidor DNS, em vez do padrão atual; e precisa configurar esse novo servidor DNS pra repassar suas consultas normais pra um servidor válido na internet.
O pacote de servidor DNS é o "bind9" (apt-get install bind9). A configuração do servidor DNS não é nenhum bicho de sete cabeças, mas é bem sensível a erros. Há um gerenciador gráfico chamado "gadmin-bind" (apt-get install gadmin-bind). Eu já o usei uma vez, e ele funcionou, mas acostumado a eu mesmo criar minhas configurações, não gostei da forma como ele as organiza.