Olá, este link que você indicou parece ter uma série de exemplos, com os quais você já pode criar diversos "logs"
Primeiro você precisa decidir onde quer guardar as mensagens.
Se quiser guardar tudo em um único arquivo na própria pasta onde o script é exeutado, ou seja, em /home/arvorebackup/Compartilha, basta por no fim de
todas as linhas onde pode haver notificações algo como ">> arquivo.log 2>>error.log". Desse modo os erros vão ao error.log e as notificações sem erro ao arquivo.log.
Por outro lado você pode usar o exec. Neste caso faça o seguinte
Escreva isto do script
exec 4>&1 # Abre o descriptor 3 deixando-o como saída padrão
exec 5>&2 # Abre o descriptor 4 deixando-o como saída de erro
exec 1>> arquivo.log #direciona a saída padrão para arquivo.log
exec 2>> error.log #direciona a saída de erro para arquivo.log
# O corpo do seu script ...
exec 1>&4 4>&- #Restaura a saída padrão para o terminal e fecha o descriptor 4
exec 2 >&5 5>&- #Restaura a saída de erro para o terminale fecha o descriptor 5
É isso, espero ter ajudado.