Olá
Trocar de host só se for devido a preços e tipo de contrato. Com a mesma velocidade, em teoria tudo ficaria na mesma.
A taxa de upload (saída do servidor) é de extrema importância. Se você contrata 30MB é normalmente a taxa de download (entrada do servidor). Não conheço estes hosts que citou, mas na grande maioria deles, a taxa de download é 10% da de upload.
Assim, baixar um arquivo para o servidor (entrada), vem a 30MB/s mas entregar um arquivo para que acessar a página web (saída) vai a 3MB/s. O que faz uma enorme diferença.
Devido a isto, fotos, vídeo, Java, flash, vão demorar muito para carregar devido ao tamanho em bytes.
Se contratar uma banda de upload grande (uns 100MB) é possível até servir streaming.
Outra coisa importante é aonde está sediado o host. Em algumas horas do dia o tráfego da rede pode ficar congestionado, fazendo tudo ficar lerdo dependendo de quantos hits sua pafina estiver tendo no momento.
Já erros forbbiden, estes são numerados (erro 403, erro 404, etc.) que são erros HTTP não dependem integralmente do host, mas de como e qual erro ele se refere.
Exemplo:
Erro 404 => endereço inexistente
Erro 403 => endereço com pasta/diretório inexistente
Ainda página inicial com nome diferente de index.html , ou página com códigos não suportados pelo browser. (o que abre num firefox, pode não abrir num opera, safari ou Internet Explorer)
Para migrar, basta copiar a estrutura de pastas/diretórios de um host para outro, desde que estes suportem os mesmos requisitos (mysql) por exemplo.
Tanto faz se usar terminal ou gerenciador de arquivos (nautilius por ex.)
Basta logar como administador nos dois hosts e copiar/colar a estrutura de pastas.
Testado e funcionando no novo host, migre o endereço HTTP e encerre o serviço no host antigo.