Olá, você chegou a abrir a tampa traseira do notebook pra checar se é preciso fazer uma limpeza no cooler? Sempre é bom fazer uma manutenção deste tipo. Se tiver poeira em excesso, o trabalho do cooler será insuficiente, mesmo rodando. O computador só vai esquentar se não houver ventilação adequada e/ou se algum processo/aplicativo estiver rodando em background continuamente ou mesmo exigindo muita CPU. Dê uma monitorada constante nos processos que estão rodando. Se o consumo de CPU for alto, mas você não consegue identificar na lista de processos, já é algo suspeito.
O fato do notebook superaquecer e desligar, já não é bom sinal, rs. Se você pretende ficar com este notebook, sugiro comprar uma base dissipadora de calor ou mesmo tentar usar aqueles dissipadores de borracha (Tem até da China, é baratinho) usando-os como pezinhos...